解答题
设A为m×n矩阵，且
，其中
，其中
问答题
证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解；
【正确答案】
【答案解析】[解] 令ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX -0的基础解系，η0为AX=b的特解，显然β0=η0，β1=ξ1+η0，…，βn-r=ξn-r+η0为AX-b的一组解，令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即
k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+(k0+k1+…+kn-r)η0=0．
上式左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因为b≠0时，k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn-r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn-r，线性无关，
若γ0，γ1，…，γn-r+1为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1-γ0，ξn-r+1=γn-r+1-γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+kn-r+1n-r+1=0，则
k1γ1+k2γ2+…+kn-r+1γn-r+1-(k1+k2+…+kn-r+1)γ0=0．
因为γ0，γ1，…，γn-r+1线性无关，所以k1=k2=…=kn-r+1=0，即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解．
k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+(k0+k1+…+kn-r)η0=0．
上式左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因为b≠0时，k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn-r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn-r，线性无关，
若γ0，γ1，…，γn-r+1为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1-γ0，ξn-r+1=γn-r+1-γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2ξ2+…+kn-r+1n-r+1=0，则
k1γ1+k2γ2+…+kn-r+1γn-r+1-(k1+k2+…+kn-r+1)γ0=0．
因为γ0，γ1，…，γn-r+1线性无关，所以k1=k2=…=kn-r+1=0，即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解．
问答题
若
【正确答案】
【答案解析】[解] 令
则
，化为AX=β．因为AX=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4-r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以
．
则
，化为AX=β．因为AX=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4-r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以．