问答题
某厂生产的各台仪器，可直接出厂的占0.7，需调试的占0.3，调试后可出厂的占0.8，不能出厂的(不合格品)占0.2．现生产了n(n≥2)台仪器(设每台仪器的生产过程相互独立)，求：
问答题
全部能出厂的概率；
【正确答案】对一台仪器而言，记A=(可直接出厂)，B={最终能出厂}，则A[*]B，P(A)=0.7，[*]=0.8，∴P(B)=P(A)+P(AB)=0.94，故[*]·0.94n·(1-0.94)n-n=0.94n；
【答案解析】
问答题
恰有2台不能出厂的概率；
【正确答案】[*]·0.94n-2·0.062；
【答案解析】
问答题
至少有2台不能出厂的概率．
【正确答案】1-[*]·0.94n-1·0.06=1-0.94n-n·0.06·0.94n-1．
【答案解析】
问答题
袋中有a白b黑共a+b只球，现从中随机、不放回地一只一只地取球，直至袋中所剩之球同色为止。求袋中所剩之球全为白球的概率。
【正确答案】我们将球一只一只地全部取完(这不影响所求之概率)，则P{袋中全剩白球)=P{最后一只取白球)=[*](抽签原理)
【答案解析】
问答题
设事件A、B、C两两独立，且ABC=
【正确答案】P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3p-3p2，又P(A∪B∪C)≥P(A∪B)=P(A)+(B)-P(AB)=2p-p2，∴2p-p2≤3p-p2，解得[*](p=0显然无意思)；取Ω={w1，w2，w3，w4}，p(wi)=[*]，i=1，…，4，A={w1，w2}，B={w1，w2}，C={w2，w3}，则P(A)=P(B)=P(C)=[*]，而此A、B、C两两独立且ABC=[*]．可见p可能取的最大值应为[*](后半部分在说明：这个[*]可以“取到”，而非仅是一个“界”)
【答案解析】
问答题
3架飞机(一长二僚)去执行轰炸任务，途中要过一敌方的高炮阵地，各机通过的概率均为0.8，通过后轰炸成功的概率均为0.3，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功。求最终轰炸成功的概率。
【正确答案】设长机为A，另2架僚机分别为B、C，记A1={A通过高炮阵地)，B1={B通过高炮阵地)，C1={C通过高炮阵地)，A2={A轰炸成功}，D={最终轰炸成功}，则=[*]，∴[*][*]，而[*][*]，又[*][*][*]=0.72×0.82+0.7×0.8×0.2×2+1×0.22=0.5776，代回得P(D)=0.476544．
【答案解析】
问答题
设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为
【正确答案】解 由已知，(X，Y)的联合密度为
f(x，y)=fx(x)fY(y)=[*]
而Z的分布函数为
FZ(z)=P(Z≤z)=P(2X+Y≤z)=[*]
当[*]即z≤0时，FZ(z)=0 (图a)
[*]
当[*]即0≤z≤2时，
[*](图b)
[*]
当[*]即z＞2时，
[*] (图c)
[*]
[*]
则Z的概率密度为
[*]
f(x，y)=fx(x)fY(y)=[*]
而Z的分布函数为
FZ(z)=P(Z≤z)=P(2X+Y≤z)=[*]
当[*]即z≤0时，FZ(z)=0 (图a)
[*]
当[*]即0≤z≤2时，
[*](图b)
[*]
当[*]即z＞2时，
[*] (图c)
[*]
[*]
则Z的概率密度为
[*]
【答案解析】本题考查二维随机变量(连续型)函数的分布．①用卷积公式也可以做，但须对卷积公式进行适当的变形，感兴趣的同学可试做一下；②求分布函数时保留了积分[*]未积出，是因为后面还要求导，可以省点时间；③求FZ(z)、fZ(z)时，只能讨论z，不能讨论x或y，而对z的讨论要完整；④勿用“P(2X+y≤z)=[*]这类式子，因为f(x，y)并非e-y(只在一部分区域上是)，这里“2x+y≤z”可是个无穷的区域．
问答题
设随机变量x的概率密度函数为
，求随机变量
，求随机变量
【正确答案】解1 Y的分布函数为
Fy(y)=P(Y≤y)=[*]．
[*]
解2 y=[*]的反函数x=h(y)=(1-y)3单调，
故 fY(y)=fx(h(y))｜h'(y)｜=fX((1-y)3)·｜3(1-y)2·(-1)｜=[*] y∈R1
Fy(y)=P(Y≤y)=[*]．
[*]
解2 y=[*]的反函数x=h(y)=(1-y)3单调，
故 fY(y)=fx(h(y))｜h'(y)｜=fX((1-y)3)·｜3(1-y)2·(-1)｜=[*] y∈R1
【答案解析】本题考查一维(连续型)随机变量函数的分布．解法2要求h(y)单调，才能套下边的公式．解1中[*]可以作出具体的积分(也可用1-FX((1-y)3)来表示，FX为X的分布函数)，但因后面要求导，所以本解中没做，简洁些．
问答题
设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
【正确答案】解 Z的分布函数为(见下图)
[*]
F(z)=P{Z≤z}=P(X+2Y≤z)=[*]
z≤0时，F(z)=0
z＞0时，[*]
故[*]
【答案解析】本题考查二维(连续型)随机变量函数的分布．
问答题
设随机变量X与Y相互独立，X服从正态分布N(μ，σ2)，Y服从[-π，π]上均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中
【正确答案】分析 对泊松、均匀、指数等特殊分布，做计算、证明题时最好先写出其分布列或密度(如果只问数字特征则不用写)．
解 由题意，Y的概率密度为
[*]
X的概率密度为：[*]
由卷积公式，知Z的概率密度为
[*]
作积分变量代换：[*](指y与t之间的变换)
得[*]
其中[*]是标准正态分布的概率密度．
【答案解析】本题主要考查二维(连续型)随机变量函数的分布．对密度非分段函数的随机变量(如正态分布的)之和的密度(哪怕其中之一的密度非分段函数)的计算，用卷积公式做略好些．本题不用公式：“fZ(z)=[*]”，是因为fY是分段函数，再复合成fY(z-x)较麻烦，易出错．本题解中的积分代换t=[*]是y与t之间的变换，这种手法也很常用．
问答题
设随机变量x的概率密度为
【正确答案】解1 Y的分布函数FY(y)=P(Y≤y)=P(eX≤y)
当y≤0时，FY(y)=0，∴fY(y)=[*]
当y＞0时，[*]
[*]
故，综上知
[*]
解2 y=ex单调增，反函数为x=h(y)=lny，(y＞0)
故[*]
当y≤0时，FY(y)=0，∴fY(y)=[*]
当y＞0时，[*]
[*]
故，综上知
[*]
解2 y=ex单调增，反函数为x=h(y)=lny，(y＞0)
故[*]
【答案解析】本题考查一维(连续型)随机变量函数的分布．解2中勿遗漏y＞0一条．
问答题
设平面区域D由曲线y=
【正确答案】[*]
解 D的面积(见下图)
[*]
由题意，(X，Y)的密度为
[*]
则关于X的边缘密度
[*]
当x≤1或x≥e2时，fX(x)=0．
当1＜X＜e2时，[*]，故[*]
解 D的面积(见下图)
[*]
由题意，(X，Y)的密度为
[*]
则关于X的边缘密度
[*]
当x≤1或x≥e2时，fX(x)=0．
当1＜X＜e2时，[*]，故[*]
【答案解析】本题主要考查边缘密度的求法．求fx(x)=[*]时，①不能写成[*]，因为f(x，y)并非都是[*](只在(x，y)∈D上才是)；②只许对x进行讨论，不能讨论y(比如：“当(x，y)∈D时，fX(x)=…”是错的!)，因为f(x)只与x有关．
问答题
设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处．
【正确答案】：[*]附注：打圈的是原题给的数．
解 ∵P(Y=y1)=P(X=,x1，Y=y1)+P(X=x2，Y=y1)
即得P(X=x1，Y=y1)=P(Y=y1)-P(X=x2，Y=y1)=[*]
又 ∵P(X=x2)P(Y=y1)=P(X=x2，Y=y1) (∵X与Y独立)
∴P(X=x2)=[*]
∴P(X=x1)=1-P(X=x2=[*]
又P(X=x1)P(Y=y2)=P(X=x1，Y=y2)
∴P(Y=y2)=[*]
P(Y=y2)=1-P(Y=y1)-P(Y=y2)=[*]
P(X=x2，Y=y2)=P(Y=y2)-P(X=x2，Y=y2)=[*]
P(X=x2，Y=y3)=P(X=x2)P(Y=y3)=[*]
P(X=x1，Y=y3)=P(X=x1)P(Y=y3)=[*]
解 ∵P(Y=y1)=P(X=,x1，Y=y1)+P(X=x2，Y=y1)
即得P(X=x1，Y=y1)=P(Y=y1)-P(X=x2，Y=y1)=[*]
又 ∵P(X=x2)P(Y=y1)=P(X=x2，Y=y1) (∵X与Y独立)
∴P(X=x2)=[*]
∴P(X=x1)=1-P(X=x2=[*]
又P(X=x1)P(Y=y2)=P(X=x1，Y=y2)
∴P(Y=y2)=[*]
P(Y=y2)=1-P(Y=y1)-P(Y=y2)=[*]
P(X=x2，Y=y2)=P(Y=y2)-P(X=x2，Y=y2)=[*]
P(X=x2，Y=y3)=P(X=x2)P(Y=y3)=[*]
P(X=x1，Y=y3)=P(X=x1)P(Y=y3)=[*]
【答案解析】本题考查二维离散型随机变量的联合、边缘分布列的关系和独立性的应用．