【正确答案】设x为Ax=b的任一解，由题设知η₁，η₂，…，η_n－r＋1线性无关且均为Ax=b的解。
取ξ₁=η₂一η₁，ξ₂=η₃一η₁，…，η_n－r=η_n－r＋1一η₁，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程Ax=0的解。
下面用反证法证：
设ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r线性相关，则存在不全为零的数l₁，l₂，…，l_n－r，使得
l₁ξ₁+l₂ξ₂+…+l_n－rξ_n－r=0，
即l₁(η₂一η₁)+l₂(η₃一η₁)+…+l_n－r(η_n－r＋1一η₁)=0，
也即一(l₁+l₂+…+l_n－r)η₁+l₁η₂+l₂η₃+…+l_n－rη_n－r＋1=0。
由η₁，η₂，…，η_n－r＋1线性无关知
一(l₁+l₂+…+l_n－r)=l₁=l₂=…=l_n－r=0，
这与l₁，l₂，…，l_n－r不全为零矛盾，故假设不成立。因此ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r线性无关，是Ax=0的基础解系。
由于x，η₁均为Ax=b的解，所以x一η₁为Ax=0的解，因此x一η₁可由ξ₁，ξ₂，…，ξ_n－r线性表示，设
x一η₁=k₂ξ₁+k₃ξ₂+…+k_n－r＋1ξ_n－r
=k₂(η₂一η₁)+k₃(η₃一η₁)+…+k_n－r＋1(η_n－r＋1一η₁)，
则x=η₁(1一k₂一k₃一…一k_n－r＋1)+k₂η₂+k₃η₃+…+k_n－r＋1η_n－r＋1，
令k₁=1一k₂一k₃一…一k_n－r＋1，则k₁+k₂+k₃+…+k_n－r＋1=1，从而
x=k₁η₁+k₂η₂+…+k_n－r＋1恒成立。