填空题
设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有
【正确答案】
【答案解析】由于所给曲面积分的被积函数具有连续偏导数，由高斯公式可得
其中Ω为S所围成的空间区域，当S取外侧面时，上述三重积分前取“+”号；当S取内侧面时，上述三重积分前取“-”号，
由于曲面S任意，因此空间区域n也为任意，根据“若f(x，y，z)为连续函数，且对任意的空间区域Ω都有
，则f(x，y，z)=0. ”可知
因x＞0，则f′(x)=1.
设f(x，y，z)在区域Ω连续，又对
的区域
则f(x，y，z)=0
证明：反证法. 若不然，则
点M0(x0，y0，z0)∈Ω，使得f(M0)≠0，不妨设f(M0)＞0，由连续性知，
的邻域记为Ω0使得f(x，y，z)＞0((x，y，z)∈Ω0)，于是
0，与已知矛盾，因此
其中Ω为S所围成的空间区域，当S取外侧面时，上述三重积分前取“+”号；当S取内侧面时，上述三重积分前取“-”号，
由于曲面S任意，因此空间区域n也为任意，根据“若f(x，y，z)为连续函数，且对任意的空间区域Ω都有
，则f(x，y，z)=0. ”可知因x＞0，则f′(x)=1.
设f(x，y，z)在区域Ω连续，又对
的区域则f(x，y，z)=0证明：反证法. 若不然，则
点M0(x0，y0，z0)∈Ω，使得f(M0)≠0，不妨设f(M0)＞0，由连续性知，的邻域记为Ω0使得f(x，y，z)＞0((x，y，z)∈Ω0)，于是0，与已知矛盾，因此