【正确答案】利用反对称矩阵及正交矩阵的定义A^T=一A及AA^T=A^TA=E证之．
证 (Ⅰ)因(E—A)(E+A)=E一A²=(E+A)(E—A)，
在上式两边分别左乘、右乘(E+A)^-1得到
(E+A)^-1(E—A)(E+A)(E+A)^-1=(E+A)^-1(E+A)(E—A)(E+A)^-1，
即 (E+A)^-1(E—A)=(E一A)(E+A)^-1．
(Ⅱ)下证[(E—A)(E+A)^-1][(E—A)(E+A)^-1]^T=E．事实上，由A^T=一A得到
[(E—A)(E+A)^-1][(E—A)(E+A)^-1]^T
=[(E—A)(E+A)^-1][(E+A)^-1]^T(E—A)^T
=(E—A)(E+A)^-1(E—A)^-1(E+A)
=(E+A)^-1(E—A)(E—A)^-1(E+A)，
(利用(1)的结果(E—A)(E+A)^-1=(E+A)(E—A))=E·E=E．)
故(E—A)(E+A)^-1为正交矩阵．
(Ⅲ)下证[(E—A)(E+A)^-1]^T=一(E一A)(E+A)^-1．利用AA^T=A^TA=E及^-1=A^T
得到
[(E—A)(E+A)^-1]^T=[(E+A)^-1]^T(E一A)^T=[(E+A)^T]^-1(E—A^T)
=(E+A^T)^-1(E—A^T)=(E+A^-1)^-1(E一A^-1)=(A^-1A+A^-1)^-1(E—A^-1)
=[A^-1(A+E)]^-1(E—A^-1)=(A+E)^-1A(E—A^-1)
=(A+E)^-1(A—E)=一(A+E)^-1(E—A)=一(E—A)(E+A)^-1，
(利用(Ⅰ)的结果(E+A)^-1(E—A)=(E—A)(E+A)^-1)
故(E—A)(E+A)^-1为反对称矩阵．