问答题
设f(x)在[0，1]上二阶导数连续，f(0)=f(1)=0，并且当x∈(0，1)时，|f"(x)|≤A，求证：
【正确答案】
【答案解析】[证]由于f(x)在[0，1]上二阶导数连续，则f(x)可展成一阶泰勒公式，即
(ξ在x与x
0
之间)
取x=0，x 0 =x，则
0＜ξ
1
＜x≤1， ①
取x=1，x 0 =x，则
0≤x＜ξ
2
＜1． ②
②-①得
又当x∈(0，1)时，|f"(x)|≤A，则
当0≤x≤1时，2x 2 -2x+1=2x(x-1)+1≤1，
因此，
(ξ在x与x
0
之间)
取x=0，x 0 =x，则
0＜ξ
1
＜x≤1， ①
取x=1，x 0 =x，则
0≤x＜ξ
2
＜1． ②
②-①得
又当x∈(0，1)时，|f"(x)|≤A，则
当0≤x≤1时，2x 2 -2x+1=2x(x-1)+1≤1，
因此，