问答题
设函数f(x)在区间a≤x＜+∞上二次可微，并有：1)f(oa)=A＞0；2)f'(a)＜0；3)f"(x)≤0(x＞a)．证明方程f(x)=0在区间(a，+∞)内有唯一的实根．
【正确答案】当x＞a时，按拉格朗日有限增量公式得
f(x)=A+(x-a)f'(ξ1(x)))，a＜ξ1＜x(1)
f'(x)=f'(a)+(x-a)f"(ξ2(x))，a＜ξ2＜x (2)
由条件f"(ξ2)≤0，推出f'(x)＜0对一切x＞a成立，因此，函数f(x)在区间(a，+∞)上减小，由式(1)及式(2)求得
f(x)=A+(x-a)f'(x)+(x-a)(ξ1-a)f"(ξ2(ξ1)) (3)
根据条件f'(a)＜0，f"(ξ2(ξ1))≤0，由式(3)即知在充分大的x0(x0＞a)处，函数取负值，既然函数f(x)连续于闭区间[a，x0]，按介值定理，存在x1∈(a，x0)，使f(x1)=0．函数f(x)在异于x1的任何其他点不再为零，这是因为它在(a，+∞)上是单调减小的．
【答案解析】