解答题
18.用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3-4x2x3为标准二次型．
【正确答案】f(x1，x2，x3)=XTAX，其中X=
由｜λE-A｜=
=(λ+3)(λ-3)2=0得λ1=-3，λ2=λ3=3．
由(-3E-A)X=0得λ1=-3对应的线性无关的特征向量为α1=
由(3E-A)X=0得λ2=λ3=3对应的线性无关的特征向量为α3=
，α3=
将α2，α3正交化得β2=
，β3=α3-
，单位化得
则f(x1，x2，x3)=XTAX
由｜λE-A｜=
=(λ+3)(λ-3)2=0得λ1=-3，λ2=λ3=3．由(-3E-A)X=0得λ1=-3对应的线性无关的特征向量为α1=
由(3E-A)X=0得λ2=λ3=3对应的线性无关的特征向量为α3=
，α3=将α2，α3正交化得β2=
，β3=α3-，单位化得则f(x1，x2，x3)=XTAX
【答案解析】