问答题
设函数φ(x)在(-∞，+∞)内连续，周期为1，且
，函数f(x)在[0，1]上有连续导数，设
，证明级数
，函数f(x)在[0，1]上有连续导数，设
，证明级数
【正确答案】
【答案解析】首先由φ(x)的周期为1以及
和周期函数的积分性质可得
设
．则F(x)是周期为1的周期函数，且
F"(nx)=φ(nx)，F(0)=F(n)=0，于是
因F(x)在(-∞，+∞)内是连续的周期函数，所以F(x)在(-∞，+∞)内有界，因此存在M 1 ＞0，对
x∈(-∞，+∞)，恒有|F(x)|≤M
1
，从而有|F(nx)|≤M
1
．
又根据题意，f(x)在[0，1]上连续，由连续函数在闭区间上的性质知，存在M 2 ＞0，对
x∈[0，1]有|f"(x)|≤M
2
，因此
因此
而级数
收敛，根据比较判别法知
和周期函数的积分性质可得
设
．则F(x)是周期为1的周期函数，且
F"(nx)=φ(nx)，F(0)=F(n)=0，于是
因F(x)在(-∞，+∞)内是连续的周期函数，所以F(x)在(-∞，+∞)内有界，因此存在M 1 ＞0，对
x∈(-∞，+∞)，恒有|F(x)|≤M
1
，从而有|F(nx)|≤M
1
．
又根据题意，f(x)在[0，1]上连续，由连续函数在闭区间上的性质知，存在M 2 ＞0，对
x∈[0，1]有|f"(x)|≤M
2
，因此
因此
而级数
收敛，根据比较判别法知