解答题
8.若函数f(x，y)对任意正实数t，满足
f(tx，ty)=tn(x，y)， (*)
称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数
(**)
f(tx，ty)=tn(x，y)， (*)
称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数
(**)
【正确答案】设f(x，y)是n次齐次函数，按定义，得
f(tx，ty)=tnf(x，y)(
t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得
令t=1，则x
(x，y)=nf(x，y)．
现设上式成立．考察φ(t)=
t＞0)，由复合函数求导法则可得
f(tx，ty)=tnf(x，y)(
t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得令t=1，则x
(x，y)=nf(x，y)．现设上式成立．考察φ(t)=
t＞0)，由复合函数求导法则可得【答案解析】将题设等式(*)对t求导，由(*)可导出题设等式(**)．而由(**)导出(*)，即证
对t＞0为常数，亦即证
对t＞0为常数，亦即证