问答题
已知方程x
2
+ay
2
+z
2
+2bxy+2xz+2yz=4可经正交线性变换(x，y，z)
T
=Q(x＇，y＇，z＇)
T
化为方程y＇
2
+4z＇
2
=4，求a，b的值和正交矩阵Q．
【正确答案】
[详解] 由已知，二次型f=x
2
+ay
2
+z
2
+2bxy+2xz+2yz的矩阵[*]与对角矩阵[*]相似，所以，r(A)=r(A)，|A|=|A|，得a=3，b=1，且矩阵A的特征值为0，1，4．
对于特征值0，可求得A的相应单位特征向量[*]
对于特衙值1，可求得A的相应单位特征向量[*]
对于特征值4，可求得A的相应单位特征向量[*]
因此，所求正交矩阵为[*]
【答案解析】
[分析] 将二次型的变换转化为相应的矩阵的变换．
[评注] 该题属于基本题型．
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