解答题
25.设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有
【正确答案】由f(x)=f(x0)+f′(x0)(x－x0)+
，
f(x′)=f(x0)+f′(x0)(x′－x0)+
，
两式相加得
f(x)+f(x′)－2f(x0)=f″(x0)(x－x0)2+
[f(4)(ξ1)+f(4)(ξ2)](x－x0)4，
于是
，
再由｜f(4)(x)｜≤M，得
，f(x′)=f(x0)+f′(x0)(x′－x0)+
，两式相加得
f(x)+f(x′)－2f(x0)=f″(x0)(x－x0)2+
[f(4)(ξ1)+f(4)(ξ2)](x－x0)4，于是
，再由｜f(4)(x)｜≤M，得
【答案解析】