问答题
设f(x)在[0，1]上连续，且满足J f(x)dx=0，fxf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．
【正确答案】正确答案：令F(x)=∫
0
x
f(t)dt，G(x)=∫
0
x
F(s)ds，显然G(x)在[0，1]可导，G(0)=0，又 G(1)=∫
0
1
F(s)ds
sF(s)｜
0
1
一∫
0
1
sdF(s)=F(1)一∫
0
1
sf(s)ds=0一0=0， 对G(x)在[0，1]上用罗尔定理知，
c∈(0，1)使得G'(c)=F(c)=0． 现由F(x)在[0，1]可导，F(0)=F(C)=F(1)=0，分别在[0，c]，[c，1]对F(x)用罗尔定理知，
sF(s)｜
0
1
一∫
0
1
sdF(s)=F(1)一∫
0
1
sf(s)ds=0一0=0， 对G(x)在[0，1]上用罗尔定理知，
c∈(0，1)使得G'(c)=F(c)=0． 现由F(x)在[0，1]可导，F(0)=F(C)=F(1)=0，分别在[0，c]，[c，1]对F(x)用罗尔定理知，
【答案解析】解析：为证f(x)在(0，1)内存在两个零点，只需证f(x)的原函数F(x)=∫
0
x
f(t)dt在[0，1]区间上有三点的函数值相等．由于F(0)=0，F(1)=0，故只需再考察F(x)的原函数G(x)=∫
0
x
F(s)ds，证明G(x)的导数在(0，1)内存在零点．