问答题
一个长度为N(N为偶数)的线性相位FIR滤波器，单位函数响应为h
1
(k)，其DFT为H
1
(m)。将h
1
(k)进行N点循环移位N/2点得到一个新的单位响应函数h
2
(k)。
问答题
求h
2
(k)的DFT H
2
(m)；
【正确答案】
【答案解析】解 由题意知，
则由DFT的循环移位特性知
则由DFT的循环移位特性知
问答题
证明h
2
(k)所对应的FIR滤波器依然满足线性相频特性；
【正确答案】
【答案解析】解 由
知
及
由于h 1 (k)对应的FIR滤波器是线性相位的，即有
故有
知
及
由于h 1 (k)对应的FIR滤波器是线性相位的，即有
故有
问答题
证明将h
1
(k)和h
2
(k)对应的系统并联，得到的新系统依然是线性相位FIR滤波器；
【正确答案】
【答案解析】解 当将h
1
(k)和h
2
(k)对应的系统并联，所得新系统的单位函数响应为h
1
(k)+h
2
(k)。不妨将h
1
(k)和h
2
(k)都分成左、右两部分，记为h
1L
(k)，h
1R
(k)和h
2L
(k)，h
2R
(k)，由于
即
于是有
又由于h 1 (k)和h 2 (k)又是偶对称的，即
于是有
即
于是有
又由于h 1 (k)和h 2 (k)又是偶对称的，即
于是有
问答题
证明将h
1
(k)和h
2
(k)对应的系统串联，得到的新系统依然是线性相位FIR滤波器。
【正确答案】
【答案解析】解 将h
1
(k)和h
2
(k)对应的系统串联，所得新系统的单位函数响应为h
1
(k)*h
2
(k)。由于h
1
(k)与h
2
(k)都为长度为N的有限长因果序列，故h
1
(k)*h
2
(k)是一个长度为2N-1的因果序列，若令
h(k)=h 1 (k)*h 2 (k)
则
考虑到h 1 (k)与h 2 (k)都是因果的有限长的序列，h(k)的计算可以分为两段，即0≤k≤N-2及N≤k≤2N-2。当k=N-1时，h(N-1)是单独的一个值(2N-1是奇数)。
当0≤k≤N-2时，
当N≤k≤2N-2时，
对于式②，令m=2N-2-k，则0≤m≤N-2，且式②可表示为
h(k)=h 1 (k)*h 2 (k)
则
考虑到h 1 (k)与h 2 (k)都是因果的有限长的序列，h(k)的计算可以分为两段，即0≤k≤N-2及N≤k≤2N-2。当k=N-1时，h(N-1)是单独的一个值(2N-1是奇数)。
当0≤k≤N-2时，
当N≤k≤2N-2时，
对于式②，令m=2N-2-k，则0≤m≤N-2，且式②可表示为