【正确答案】 D

【答案解析】 g(x)在(-1，1)内连续，所以存在原函数，f(x)在x=0处为第一类间断点，所以不存在原函数(如果F(x)是f(x)在区间(-1，1)内的一个原函数，f(x)=F'(x)，而x=0为f(x)的第一类间断点，而作为导函数F'(x)来说，是不可能存在第一类间断点的)