【正确答案】由A²一2A一3E=0得(E+A)(3E—A)=0，则
r(E+A)+r(3E—A)≤n；
由r(E+A)+r(3E—A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E—A)=n．
(1)当r(E+A)=n时，A=3E为对角阵；
(2)当r(3E—A)=n时，为对角矩阵；
(3)r(E+A)＜n，r(3E—A)＜n，则|E+A|=0，|3E—A|=0，
A的特征值λ₁=一1，λ₂=3．
λ₁=一1对应的线性无关的特征向量个数为n一r(一E—A)=n一r(E+A)；
λ₂=3对应的线性无关的特征向量个数为n一r(3E—A)．
因为n一r(E+A)+n一r(3E—A)=n，所以A可相似对角化．