问答题
设矩阵
【正确答案】
【答案解析】[解] 矩阵A是4阶实对称方阵，肯定有4个实特征值，现求这4个特征值．
令|A-λE|=0，即
，
解得λ 1 =-2，λ 2 =λ 3 =λ 4 =2．
当λ 1 =-2时，特征向量为
，其中k≠0．
当λ 1 =λ 3 =λ 4 =2时，特征向量为
，其中k
1
，k
2
，k
3
不同时为0．
记f(x)=x 3 -2x+5，又由于B=A 3 -2A+5E，故4阶矩阵B的4个特征值分别为f(λ 1 )，f(λ 2 )，f(λ 3 )，f(λ 4 )．
f(λ 1 )=f(-2)=-8+4+5=1，对应的特征向量为
f(λ 2 )=f(λ 3 )=f(λ 4 )=f(2)=8-4+5=9，对应的特征向量为
由此可知，矩阵B有三重根特征值9，此特征值对应的特征向量的最大无关组中含三个向量，所以矩阵B可以对角化(B可以相似于对角矩阵)．
所以，当
令|A-λE|=0，即
，
解得λ 1 =-2，λ 2 =λ 3 =λ 4 =2．
当λ 1 =-2时，特征向量为
，其中k≠0．
当λ 1 =λ 3 =λ 4 =2时，特征向量为
，其中k
1
，k
2
，k
3
不同时为0．
记f(x)=x 3 -2x+5，又由于B=A 3 -2A+5E，故4阶矩阵B的4个特征值分别为f(λ 1 )，f(λ 2 )，f(λ 3 )，f(λ 4 )．
f(λ 1 )=f(-2)=-8+4+5=1，对应的特征向量为
f(λ 2 )=f(λ 3 )=f(λ 4 )=f(2)=8-4+5=9，对应的特征向量为
由此可知，矩阵B有三重根特征值9，此特征值对应的特征向量的最大无关组中含三个向量，所以矩阵B可以对角化(B可以相似于对角矩阵)．
所以，当