设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动，求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度．
【正确答案】正确答案：用X，Y分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则T=X+Y， 由已知条件得X，y的密度为f
X
(x)=
当t≤0时，F
T
(t)=0；当t＞0时， F
T
(t)=P(X+Y≤t)=
f
X
(x)．f
Y
(y)dxdy =25∫
0
t
e
一5x
dx∫
0
t一x
e_5ydy=5∫
0
t
e
一5x
[1一e
一5(t一x)
]dx =5∫
0
t
(e
一5x
一e
一5t
)dx=(1一e
一5t
)一5te
一5t
T的密度函数为f(t)=
当t≤0时，F
T
(t)=0；当t＞0时， F
T
(t)=P(X+Y≤t)=
f
X
(x)．f
Y
(y)dxdy =25∫
0
t
e
一5x
dx∫
0
t一x
e_5ydy=5∫
0
t
e
一5x
[1一e
一5(t一x)
]dx =5∫
0
t
(e
一5x
一e
一5t
)dx=(1一e
一5t
)一5te
一5t
T的密度函数为f(t)=
【答案解析】