问答题
设总体X的概率密度为
其中θ＞0是未知参数．从总体X中抽取简单随机样本X
1
，X
2
，…，X
n
，记
＝min(X
1
，X
2
，…，X
n
)．
(1)求总体X的分布函数F(χ)；
(2)求统计量
的分布函数
(χ)；
(3)如果用
其中θ＞0是未知参数．从总体X中抽取简单随机样本X
1
，X
2
，…，X
n
，记
＝min(X
1
，X
2
，…，X
n
)．
(1)求总体X的分布函数F(χ)；
(2)求统计量
的分布函数
(χ)；
(3)如果用
【正确答案】正确答案：(1)F(χ)＝∫
－∞
χ
f(t)dt 当χ＜0时，F(χ)＝0； 当χ≥θ时，F(χ)＝∫
θ
χ
2e
－2(t－θ)
dt＝1－e
－2(χ－θ)
故F(χ)＝
(2)
(χ)＝P{
≤χ}＝P{min(X
1
，…，X
n
)≤χ} ＝1－P{min(X
1
，…，X
n
)＞χ} ＝1－P{X
1
＞χ，X
2
＞χ，…，X
n
＞χ} ＝1－P{X
1
＞χ}P{X
2
＞χ}…P{X
n
＞χ} ＝1－[1－F(χ)]
n
(3)θ的概率密度为：
所以
(2)
(χ)＝P{
≤χ}＝P{min(X
1
，…，X
n
)≤χ} ＝1－P{min(X
1
，…，X
n
)＞χ} ＝1－P{X
1
＞χ，X
2
＞χ，…，X
n
＞χ} ＝1－P{X
1
＞χ}P{X
2
＞χ}…P{X
n
＞χ} ＝1－[1－F(χ)]
n
(3)θ的概率密度为：
所以
【答案解析】