单选题
在下列四个命题中正确的是
【正确答案】
D
【答案解析】[解析] [解法一] 因为f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数，故f"(x)在(-a，a)内必为奇函数，即
x∈(-a，a)有f"(-x)=-f"(x)．特别对x=0有f"(0)=-f"(0)
f"(0)=0．故应选D．
[解法二] A，B，C均不正确．
A．不正确：条件中缺f(x)在x=x 0 处连续．例如：
尽管f"(x)=1当-1＜x＜0成立，f"(x)=-1当0＜x＜1成立，但当0＜|x|＜1时都有f(0)=-1＜f(x)．这表明f(0)并不是f(x)在(-1，1)上的最大值．
B．不正确：函数f(x)在x=x 0 取极值与它在x=x 0 两侧附近单调并无必然联系．例如：
因
，故f(0)是f(x)的极大值，但
特别在
处有
由此可见，无论取正数δ多么小，在(-δ，0)与(0，δ)中导函数f"(x)总要无穷多次变号，即f(x)不可能在这样的区间中单调．
C．也不正确：考察函数
x∈(-a，a)有f"(-x)=-f"(x)．特别对x=0有f"(0)=-f"(0)
f"(0)=0．故应选D．
[解法二] A，B，C均不正确．
A．不正确：条件中缺f(x)在x=x 0 处连续．例如：
尽管f"(x)=1当-1＜x＜0成立，f"(x)=-1当0＜x＜1成立，但当0＜|x|＜1时都有f(0)=-1＜f(x)．这表明f(0)并不是f(x)在(-1，1)上的最大值．
B．不正确：函数f(x)在x=x 0 取极值与它在x=x 0 两侧附近单调并无必然联系．例如：
因
，故f(0)是f(x)的极大值，但
特别在
处有
由此可见，无论取正数δ多么小，在(-δ，0)与(0，δ)中导函数f"(x)总要无穷多次变号，即f(x)不可能在这样的区间中单调．
C．也不正确：考察函数