问答题
计算累次积分
【正确答案】
【答案解析】[解法一] 由题设知累次积分I可以写成积分区域D=D
1
+D
2
上的二重积分
，其中D
1
={(x，y)|0≤x≤1，1-x≤y≤2-x}，D
2
={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤2-x}，如下图所示．令x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中
，从而
[解法二] 在内层积分作换元t=x+y，于是y:1-x→2-x
t:1→2，y:0→2-x
t:x→2，且dt=dy，
从而
其中D 0 =D 01 +D 02 ，且D 01 ={(x，t)|0≤x≤1，1≤t≤2}，
D 02 ={(x，t)|1≤x≤2，x≤t≤2}，如下图所示．注意积分区域D 0
又可表示为D 0 ={(x，t)|1≤t≤2，0≤x≤t}，故
，其中D
1
={(x，y)|0≤x≤1，1-x≤y≤2-x}，D
2
={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤2-x}，如下图所示．令x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中
，从而
[解法二] 在内层积分作换元t=x+y，于是y:1-x→2-x
t:1→2，y:0→2-x
t:x→2，且dt=dy，
从而
其中D 0 =D 01 +D 02 ，且D 01 ={(x，t)|0≤x≤1，1≤t≤2}，
D 02 ={(x，t)|1≤x≤2，x≤t≤2}，如下图所示．注意积分区域D 0
又可表示为D 0 ={(x，t)|1≤t≤2，0≤x≤t}，故