本题考查程序法。

我国《行政诉讼法》第二十六条规定：“公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，作出行政行为的行政机关是被告。行政机关委托的组织所作的行政行为，委托的行政机关是被告。”我国《行政诉讼法》第十五条规定：“对国务院部门或者县级以上地方人民政府所作的行政行为提起诉讼的案件，由中级人民法院管辖。”

A项正确，做出具体行政行为的是A县政府，而鸡场所在的乡政府只是受委托机关，不具被告人资格，因此本案的被告是A县政府。

B项错误，甲可不申请行政复议，直接向法院提起行政诉讼。

C项错误，本案的被告是A县人民政府，有管辖权的应该是中级人民法院。

D项错误，《国家赔偿法》没有涉及补偿内容。

故正确答案为A。