解答题
5.[2003年] 若矩阵A=
【正确答案】先求出A的特征值，再由A可对角化的必要条件秩(λiE一A)=n一ki求出6E－A的秩，从而求出a．再求出A的所有线性无关的特征向量，即可求出相似变换矩阵P．
由∣λE－A ∣=(λ一6)2(λ+2)=0得到A的特征值为λ1=λ2=6，λ3=一2．
由于A相似于对角矩阵，由命题2．5．3．2(3)知，秩(6E—A)=n一k1=3—2=1．
因而6E—A中二阶子式
=2a=0，即a=0．
因 6E—A=
故属于λ1=λ2=6的两个线性无关的特征向量为α1=[1，2，0]T，α2=[0，0，1]T．
因 一2E—A=
由∣λE－A ∣=(λ一6)2(λ+2)=0得到A的特征值为λ1=λ2=6，λ3=一2．
由于A相似于对角矩阵，由命题2．5．3．2(3)知，秩(6E—A)=n一k1=3—2=1．
因而6E—A中二阶子式
=2a=0，即a=0．因 6E—A=
故属于λ1=λ2=6的两个线性无关的特征向量为α1=[1，2，0]T，α2=[0，0，1]T．
因 一2E—A=
【答案解析】