问答题
设实对称矩阵A的特征值分别为λ1=λ2=2，λ3=5。其中，λ1=λ2=2对应的特征向量为ξ1=(1，0，0)T和ξ2=(1，1，0)T；λ3=5对应的特征向量为ξ3=(0，-1，1)T。
(Ⅰ)求A的相似对角阵Λ；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使QTAQ=Λ。
【正确答案】(Ⅰ)由于A是实对称矩阵，所以A一定相似于对角阵A，由于A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=5，所以A相似于对角阵[*]。
(Ⅱ)将ξ1，ξ2正交化
令η1=ξ1=(1，0，0)T；
η2=[*]=(1，1，0)T-(1，0，0)T=(0，1，0)T。
再将ξ3单位化得，[*]。
所求正交阵Q=(η1，η2，η3)=[*]，使得QTAQ=A。
【答案解析】