【正确答案】证 由于r(A)=r＜n，故n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含n-r个向量.设Ax=0的基础解系为ξ1，ξ2，…，ξn-r，则可证明向量η，η+ξ1，…，η+ξn-1为方程组Ax=b的n-r+1个线性无关的解向量.证明如下：
首先，由于A(η+ξ1)=Aη+Aξj=6+0=b(j=1，2，…，n-r)，故向量η，η+ξ1，…，η+ξn-r都是方程组Ax=b的解向量.
其次，设有一组数k0，k1，kn-r，使得
k0η+k1(η+ξ1)+…+kn-r(η+ξn-r)=0 (3-57)
即 (k0+k1+…+kn-r)η+k1ξ1+…+kn-rξn-r=0 (3-58)
用A左乘上式两端，并利用Aξj=0(j=1，2，…，n-r)，得
(k0+k1+…+kn-r)Aη=0
由于Aη=b≠0，故得
k0+k1+…+kn-r=0 (3-59)
将(3-59)式代入(3-58)式，得
k1ξ1+…+kn-rξn-r=0
因为ξ1，…，ξn-r线性无关，得k1=…=kn-r…=0，代入(3-59)式，得k0=0，故由(3-57)式推出了k0=k1=…=kn-r=0，所以，向量组η，η+ξ1，…，η+ξn-r线性无关.从而证明了η，η+ξ1，…，η+ξn-r为方程组Ax=b的n-r+1个线性无关的解向量.
设X0为方程组Ax=b的任一解，则x0-η为导出组Ax=0的一个解，故存在常数λ1，…，λn-r，使得
x0-η=λ1ξ1+…+λn-rξn-r
故 x0-η=λ1ξ1+…+λn-rξn-r
即x0=(1-λ1-λ2-…-λn-r)η+λ1(η+ξ1)+…+λn-r(η+ξn-r)
上式说明，Ax=b的任一解x0可由向量组η，η+ξ1，η+ξn-r线性表出.
【答案解析】本题推证的关键，是利用Ax=0的基础解系的理论，以及Ax=b的解与Ax=0的解之和仍是Ax=b的解这一性质.注意，在题设条件下，虽然方程组Ax=b的解集合存在n-r+1个线性无关的解向量，而且这n-r+1个向量可以线性表出方程组Ax=b的任一解，但非齐次线性方程组Ax=b的解集合并不构成向量空间.