解答题
19.设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n矩阵,BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n．
【正确答案】BTAB正定的充要条件是秩(B)=n，证法较多．注意到BTAB中含互为转置的矩阵B与BT，用定义证之较方便．方程组BX=0
秩(B)=n，这是用定义证明正定性的关键．也可用特征值法证之．
证 (1)必要性 证一 用齐次方程组只有零解证之．因BTAB正定，由定义知，对任意X≠0，XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，故必有BX≠0，即BX=0只有零解，故秩(B)=n．
证二 由BTAB正定知，∣BTAB∣≠0，则秩(BTAB)=n．又因n=秩(BTAB)≤秩(B)≤n，故秩(B)=n．
(2)充分性 证一 用正定的定义证之．因(BTAB)T=BTATB=BTA；，故BTAB为对称矩阵．(正定矩阵必是实对称矩阵，所以充分性首先必证明这一点．)
由秩(B)=n知，齐次线性方程组BX=0只有零解，于是任意X0≠0，恒有BX0≠0，又因A是正定矩阵，所以对BX0≠0，必有(BX0)TA(BX0)＞0．
即对
秩(B)=n，这是用定义证明正定性的关键．也可用特征值法证之．证 (1)必要性 证一 用齐次方程组只有零解证之．因BTAB正定，由定义知，对任意X≠0，XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)＞0，故必有BX≠0，即BX=0只有零解，故秩(B)=n．
证二 由BTAB正定知，∣BTAB∣≠0，则秩(BTAB)=n．又因n=秩(BTAB)≤秩(B)≤n，故秩(B)=n．
(2)充分性 证一 用正定的定义证之．因(BTAB)T=BTATB=BTA；，故BTAB为对称矩阵．(正定矩阵必是实对称矩阵，所以充分性首先必证明这一点．)
由秩(B)=n知，齐次线性方程组BX=0只有零解，于是任意X0≠0，恒有BX0≠0，又因A是正定矩阵，所以对BX0≠0，必有(BX0)TA(BX0)＞0．
即对
【答案解析】