【正确答案】 D

【答案解析】①矩阵A^T与A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故A错误．
②假设α为A的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时，α也为A^*的特征向量．这是由于
Aα=λα=>A^*Aα=λA^*α=>A^*α=λ^－1｜A｜α．
但反之，α为A^*的特征向量，那么α不一定为A的特征向量．例如：当r(A)＜n－1时，A^*=O，此时，任意n维非零列向量都是A^*的特征向量，故A^*的特征向量不一定是A的特征向量．可知B错误．
③假设α为A的特征向量，λ为其特征值，则α为A²的特征向量．这是由于
A²α=A(Aα)=λAα=λ²α．
但反之，若α为A²的特征向量，α不一定为A的特征向量．例如：假设Aβ₁=β₁，Aβ₂=－β₂，其中β₁，β₂≠O．此时有A²(β₁+β₂)=A²β₁+A²β₂=β₁+β₂，可知β₁+β₂为A²的特征向量．但β₁，β₂是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和β₁+β₂不是A的特征向量．故C错误．
④若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有Aa=