【正确答案】解：函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 令f'(x)=0，解得驻点x=1． 当0＜x＜1时，f'(x)＞0；当x＞1时，f'(x)＜0． 因此函数f(x)的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，+∞)． f(x)在x=1处取得极大值，极大值为f(1)=-1．

【正确答案】解：，当x＞0时，f'(x)＜0恒成立． 因此曲线y=f(x)在(0，+∞)上是凸的．

【正确答案】解：齐次微分方程y'+2y'+y=0所对应的特征方程为 r2+2r+1=0． 解得特征根r=-1，且为二重根． 因此该齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-x． 原非齐次方程的自由项f(x)=2e-x，由于α=-1为特征根，且为二重特征根． 因此可设原非齐次方程的一个特解为y*=Ax2e-x，代入原非齐次方程，则有 2Ae-x-4Axe-x+Ax2e-x+2(2Axe-x-Ax2e-x)+Ax2e-x=2e-x． 解得A=1．因此y*=x2e-x．从而原非齐次微分方程的通解为 y=Y+y*=(C1+C2x)e-x+x2e-x(C1，C2为任意常数)．