【正确答案】令f(x)=∫₀^x(t—t²)sin²ⁿtdt，则f(x)在[0，+∞)可导，f'(x)=(x一x²)sin²ⁿx．当0＜x＜1时，f'(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)的点(f'(x)=0)外，f'(x)＜0，则f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时sint≤t。于是当x≥0时有
f(x)≤f(1)=∫₀¹(t一t²)sin²ⁿtdt≤∫₀¹(t一t²)²ⁿdt