【正确答案】令f(x)=x⁵-4x³+1，则B=f(A)=A⁵一4A³+E，因A的特征值为λ₁=1，
λ₂=2，λ₃=一2，故B=f(A)的三个特征值分别为
μ₁=f(λ₁)=f(1)=一2， μ₂=f(λ₂)=f(2)=1， μ₂=f(λ₃)=f(一2)=1．
由Aα₁=λ₁α₁=α₁得到A⁵α₁=A⁴Aα₁=A⁴α₁=…=Aα₁=α₁，A³α₁=A²Aα₁=…=α₁，
故Bα₁=(A⁵-4A³+E)α₁=A⁵α₁—4A³α₁+α₁一α₁一4α₁+α₁=一2α₁，即B的属于特征值
μ₁=f(λ₁)=f(1)=一2的一个特征向量为α₁(与A的属于特征值λ₁=1的特征向量α₁相同)．所以B的属于特征值μ₁=2的全部特征向量为k₁α₁，其中k₁是不等于零的任意常数．
一般有矩阵A的属于特征值λ_i的特征向量与矩阵B=f(A)的属于特征值f(λ_i)的特征向量相同，故为求B的特征向量只需求出A的特征向量．
设A的属于λ₂的特征向量为α₂=[x₁，x₂，x₃]^T，因λ₁≠λ₁，故α₂与α₁正交，则有
α₁^Tα₂=[1，一1，1]1539=x₂一x₂+x₃=0．
由

【正确答案】令P=[α₁，α₂，α₃]=，则P^-1BP=diag(一2，1，1)．于是
B=P=diag(一2，1，1)P^-1