问答题
设α=(1，2，-1)
T
，β=(1，-2，2)
T
，A=αβ
T
．
问答题
求A的非零特征值λ
1
及其对应的特征向量ξ
1
；
【正确答案】
【答案解析】解：A=αβ
T
，r(A)=1，A的非零特征值为λ
1
=β
T
α=[1，-2，2]
=-5，对应的特征向量满足(-5E-A)X=0．
=-5，对应的特征向量满足(-5E-A)X=0．
问答题
设η是任一3维列向量，证明Aη和ξ
1
成比例，并当η=(2，-6，-2)
T
时，求出Aη和ξ
1
的比例系数．
【正确答案】
【答案解析】解：r(A)=1，A还有特征值λ
2
=λ
3
=0，设对应的特征向量为ξ
2
，ξ
3
．
将η用ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性表出，设表出式为η=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ，则
Aη=A(x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 )=x 1 λ 1 ξ 1 +x 2 λ 2 ξ 2 +x 3 λ 3 ξ 3 =x 1 λ 1 ξ 1 ．
得证Aη和ξ 1 成比例，比例系数为x 1 λ 1 ，；当η=(2，-6，-2) T 时，A的对应于λ 2 =λ 3 =0的特征向量满足AX=0，其同解方程为x 1 -2x 2 +2x 3 =0，解得ξ 2 =(0，1，1) T ，ξ 3 =(4，1，-1) T ，将η由ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性表出η=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ．
将η用ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性表出，设表出式为η=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ，则
Aη=A(x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 )=x 1 λ 1 ξ 1 +x 2 λ 2 ξ 2 +x 3 λ 3 ξ 3 =x 1 λ 1 ξ 1 ．
得证Aη和ξ 1 成比例，比例系数为x 1 λ 1 ，；当η=(2，-6，-2) T 时，A的对应于λ 2 =λ 3 =0的特征向量满足AX=0，其同解方程为x 1 -2x 2 +2x 3 =0，解得ξ 2 =(0，1，1) T ，ξ 3 =(4，1，-1) T ，将η由ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性表出η=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ．