填空题
三阶常系数齐次线性微分方程
【正确答案】
【答案解析】3e
x
+e
-x
+2xe
-x
[解析] 题设方程对应的特征方程是λ
3
+λ
2
-λ-1=0，由此可得特征根为λ
1
=1，λ
2
=λ
3
=-1，故微分方程有三个线性无关的特解e
x
，e
-x
与xe
-x
，从而其通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
+C
3
xe
-x
，其中C
1
，C
2
，C
3
是三个任意常数．
由题设的初值可得
y(0)=C 1 +C 2 =4，
y"(0)=[C 1 e x -C 2 e -x +C 3 (1-x)e -x ]| x=0 =C 1 -C 2 +C 3 =4，
y"(0)=[C 1 e x +C 2 e -x +C 3 (x-2)e -x ]| x=0 =C 1 +C 2 -2C 3 =0．
于是C 1 =3，C 2 =1，C 3 =2．故所求特解是y * (x)=3e x +e -x +2xe -x ．
由题设的初值可得
y(0)=C 1 +C 2 =4，
y"(0)=[C 1 e x -C 2 e -x +C 3 (1-x)e -x ]| x=0 =C 1 -C 2 +C 3 =4，
y"(0)=[C 1 e x +C 2 e -x +C 3 (x-2)e -x ]| x=0 =C 1 +C 2 -2C 3 =0．
于是C 1 =3，C 2 =1，C 3 =2．故所求特解是y * (x)=3e x +e -x +2xe -x ．