解答题
2.设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型。
【正确答案】由题设条件知，对任意的x1，x2，…，xn，有
f(x1，x2，…，xn)≥0
其中等号成立当且仅当
方程组(*)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即
f(x1，x2，…，xn)≥0
其中等号成立当且仅当
方程组(*)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即
【答案解析】本题综合考查二次型的正定性、齐次方程组仅有零解的条件、行列式的展开法则等知识及其灵活应用。注意，本题将f正定归结为齐次方程组(*)仅有零解，是求解的关键。本题f是平方和，所以也可以考虑用标准形来作：若矩阵
