问答题
求下列矩阵A、B是否相似，若相似，求出可逆矩阵M，使M-1AM=B，
其中
，
其中
，
【正确答案】[详解] [*]
[*]
对于λ1=2，
A的特征向量[*]，B的特征向量[*]
对于λ2=1，
A的特征向量[*]，B的特征向量[*]
对于λ3=-1，
A的特征向量[*]，B的特征向量[*]
令[*]
[*]
∴QP-1APQ-1=(PQ-1)-1A(PAQ-1)=B．
令[*]
使M-1AM=B．
[*]
对于λ1=2，
A的特征向量[*]，B的特征向量[*]
对于λ2=1，
A的特征向量[*]，B的特征向量[*]
对于λ3=-1，
A的特征向量[*]，B的特征向量[*]
令[*]
[*]
∴QP-1APQ-1=(PQ-1)-1A(PAQ-1)=B．
令[*]
使M-1AM=B．
【答案解析】[分析] A～B[*]A，B有相同的特征值．A、B有相同的n个各异的特征值，则A～B．(因为此时A、B相似于同一个对角矩阵，所以A～B)．
[评注] 相似有传递性，即A～B，B～C，则A～C．
[评注] 相似有传递性，即A～B，B～C，则A～C．