解答题
12.设λ0为A的特征值．
(1)证明：AT与A特征值相等；
(2)求A2，A2+2A+3E的特征值；
(3)若|A|≠0，求A-1，A*，E—A-1的特征值．
(1)证明：AT与A特征值相等；
(2)求A2，A2+2A+3E的特征值；
(3)若|A|≠0，求A-1，A*，E—A-1的特征值．
【正确答案】(1)因为|λE—AT|=|(λE—A)T|=|λE—A|，所以AT与A的特征值相等．
(2)因为Aα=λ0α(α≠0)，
所以A2α=λ0Aα=λ02α，(A2+2A+3E)α=(λ02+2λ0+3)α，
于是A2，A2+2A+3E的特征值分别为λ02，λ02+2λ0+3．
(3)因为|A|=λ1λ2…λn≠0，所以λ0≠0，由Aα=λ0α得A-1α=
由A*Aα=|A|α得A*α=
，又(E—A-1)α=
于是A-1，A-，E一A-1的特征值分别为
(2)因为Aα=λ0α(α≠0)，
所以A2α=λ0Aα=λ02α，(A2+2A+3E)α=(λ02+2λ0+3)α，
于是A2，A2+2A+3E的特征值分别为λ02，λ02+2λ0+3．
(3)因为|A|=λ1λ2…λn≠0，所以λ0≠0，由Aα=λ0α得A-1α=
由A*Aα=|A|α得A*α=
，又(E—A-1)α=于是A-1，A-，E一A-1的特征值分别为
【答案解析】