问答题
设A=E+αβ
T
，其中α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
≠0，β=[b
1
，b
2
，…，b
n
]
T
≠0，且α
T
β=2．
(1)求A的特征值和特征向量；
(2)求可逆矩阵P，使得P
-1
AP=A．
【正确答案】正确答案：(1)设 (E+αβ
T
)ξ=λξ． ① ①式两端左边乘β
T
得β
T
(E+αβ
T
)ξ=(β
T
+β
T
αβ
T
)ξ=(1+β
T
α)β
T
ξ=λβ
T
ξ． 若β
T
ξ≠0，则λ=1+β
T
α=3；若β
T
ξ=0，则由①式，λ=1． 当λ=1时，(E-A)X=一αβ
T
X=
[b
1
，b
2
，…，b
n
]X=0，即[b
1
，b
2
，…，b
n
]X=0，因α
T
β=2， 故α≠0，β≠0，设b
1
≠0，则 ξ
1
=[b
2
，一b
1
，0，…，0]
T
，ξ
2
=[b
3
，0，一b
1
，…，0]
T
，…，ξ
n-1
=[b
n
，0，…，0，一b
1
]
T
，即A的对应于特征值1的特征向量为k
1
ξ+k
2
ξ
2
+…+k
n-1
ξ
n-1
，k
1
，k
2
，…，k
n-1
为不全为零的常数； 当λ=3时，(3E-A)X=(2E一αβ
T
)X=0，ξ
n
=α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
，即A的对应于特征值3的特征向量为k
n
ξ
n
，k
n
是不为零的常数． (2)由(1)可取可逆矩阵P=[ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n-1
，ξ
n
]=
故P
-1
AP=
[b
1
，b
2
，…，b
n
]X=0，即[b
1
，b
2
，…，b
n
]X=0，因α
T
β=2， 故α≠0，β≠0，设b
1
≠0，则 ξ
1
=[b
2
，一b
1
，0，…，0]
T
，ξ
2
=[b
3
，0，一b
1
，…，0]
T
，…，ξ
n-1
=[b
n
，0，…，0，一b
1
]
T
，即A的对应于特征值1的特征向量为k
1
ξ+k
2
ξ
2
+…+k
n-1
ξ
n-1
，k
1
，k
2
，…，k
n-1
为不全为零的常数； 当λ=3时，(3E-A)X=(2E一αβ
T
)X=0，ξ
n
=α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
，即A的对应于特征值3的特征向量为k
n
ξ
n
，k
n
是不为零的常数． (2)由(1)可取可逆矩阵P=[ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n-1
，ξ
n
]=
故P
-1
AP=
【答案解析】