单选题
设向量α
1
，α
2
，α
3
线性无关，向量β
1
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，而向量β
2
不能由向量α
1
，α
2
，α
3
线性表示，则对于任意常数k，必有
【正确答案】
A
【答案解析】[解析] 取k=0时，B和C都错．而取k≠0时，D亦错．
不妨取k=1，若α
1
，α
2
，α
3
，β
1
+β
2
线性相关，则由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，β
1
+β
2
必可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示；又β
1
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，所以β
2
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，与题设矛盾．所以A是正确的．事实上，设
λ
1
α
1
，λ
2
α
2
，λ
3
α
3
+λ
4
(kβ
1
+β
2
)=0．
若λ
4
=0，则由α
1
，α
2
，α
3
线性无关，必有λ
1
=λ
2
=λ
3
=0，从而α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
线性无关；
若λ
4
≠0，则kβ
1
+β
2
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，从而β
2
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表示，与题设矛盾．总之α
1
，α
2
，α
3
，kβ
1
+β
2
是线性无关的．