问答题
下图为双摆系统，双摆悬挂在无摩擦的旋轴上，并且用弹簧把它们的中点连在一起。假定：摆的质量为M；摆杆长度为l；摆杆质量不计；弹簧置于摆杆的l/2处，其弹性系数为k；摆的角位移很小，sinθ，cosθ均可进行线性近似处理；当θ
1
=θ
2
时，位于杆中间的弹簧无变形，且外力输入f(t)只作用于左侧的杆。若令a=g/l+k/4M，b=k/4M，要求：
(1)列写双摆系统的运动方程。
(2)确定传递函数
(1)列写双摆系统的运动方程。
(2)确定传递函数
【正确答案】
【答案解析】本题为系统数学模型建立的微分方程法、传递函数法、结构图法和信号流图法的综合运用，其结果可以相互转化与验证。
(1)运动方程
弹簧所受到的压力为
左边摆杆的受力方程为
即
右边摆杆的受力方程为
即
因θ 1 与θ 2 很小，故近似有
sinθ 1 =θ 1 ， cosθ 1 =1
sinθ 2 =θ 2 ， cosθ 2 =1
将
代入左右摆杆的受力方程，并对受力方程作线性化处理，得到如下两个方程
将a=g/l+k/4M，b=k/4M代入以上两个方程，并令
，得到双摆系统的运动方程如下
(2)传递函数
设全部初始条件为零，对系统运动方程进行拉普拉斯变换，有
显然
故
求出
(3)结构图与信号流图
依据信号的传递关系，画出系统结构图和信号流图如图(a)及图(b)所示。
图(a)双摆系统结构图
图(b)双摆系统信号流图
(4)信号流图与传递函数
为了便于观察，将信号流图改画为下所示。由图知，有
双摆系统信号流图
应用梅森增益公式，立即求得
(1)运动方程
弹簧所受到的压力为
左边摆杆的受力方程为
即
右边摆杆的受力方程为
即
因θ 1 与θ 2 很小，故近似有
sinθ 1 =θ 1 ， cosθ 1 =1
sinθ 2 =θ 2 ， cosθ 2 =1
将
代入左右摆杆的受力方程，并对受力方程作线性化处理，得到如下两个方程
将a=g/l+k/4M，b=k/4M代入以上两个方程，并令
，得到双摆系统的运动方程如下
(2)传递函数
设全部初始条件为零，对系统运动方程进行拉普拉斯变换，有
显然
故
求出
(3)结构图与信号流图
依据信号的传递关系，画出系统结构图和信号流图如图(a)及图(b)所示。
图(a)双摆系统结构图
图(b)双摆系统信号流图
(4)信号流图与传递函数
为了便于观察，将信号流图改画为下所示。由图知，有
双摆系统信号流图
应用梅森增益公式，立即求得