选择题
2.设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0，必有( )．
【正确答案】
A
【答案解析】解一 设α为方程组(I)的任一解，则Aα=0，于是有ATAα=AT(Aα)=AT0=0，即α也是方程组(Ⅱ)的解．于是得到方程组(I)的解必为方程组(Ⅱ)的解．
反之，设β为方程组(Ⅱ)的任一解．下证它是方程组(I)的解．由ATAβ=0得到βT(ATAβ)=0，即
(Aβ)T(Aβ)=(βTAT)(Aβ)=βT(ATAβ)=0．
设Aβ=[b1，b2，…，bn]T，则
(Aβ)T(Aβ)=b12+b22+…+bn2=0
bi=0 (i=1，2，…，n)，
即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．
或用反证法证之．若Aβ=[b1，b2，…，bn]T≠0，不妨设b1≠0，则
(Aβ)T(Aβ)=[b1，b2，…，bn][b1，b2，…，bn]T=b1+
反之，设β为方程组(Ⅱ)的任一解．下证它是方程组(I)的解．由ATAβ=0得到βT(ATAβ)=0，即
(Aβ)T(Aβ)=(βTAT)(Aβ)=βT(ATAβ)=0．
设Aβ=[b1，b2，…，bn]T，则
(Aβ)T(Aβ)=b12+b22+…+bn2=0
bi=0 (i=1，2，…，n)，即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．
或用反证法证之．若Aβ=[b1，b2，…，bn]T≠0，不妨设b1≠0，则
(Aβ)T(Aβ)=[b1，b2，…，bn][b1，b2，…，bn]T=b1+