解答题 12.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0．
【正确答案】令φ(x)=f(x)sinx，φ(0)=φ(1)=0，
由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ'(ξ)=0，
而φ'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx，故存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0．
【答案解析】