解答题
17.设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且
【正确答案】因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0，
=－1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)=－1，再由费马定理知f′(c)=0，
根据泰勒公式
f(0)=f(c)+f′(c)(0－c)+
(0－c)2，ξ1∈(0，c)
f(1)=f(c)+f′(c)(1－c)+
(1－c)2，ξ2∈(c，1)
整理得
当c∈
时，f″(ξ1)=
≥8，取ξ=ξ1；
当c∈
时，f″(ξ2)=
=－1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)=－1，再由费马定理知f′(c)=0，根据泰勒公式
f(0)=f(c)+f′(c)(0－c)+
(0－c)2，ξ1∈(0，c)f(1)=f(c)+f′(c)(1－c)+
(1－c)2，ξ2∈(c，1)整理得
当c∈
时，f″(ξ1)=≥8，取ξ=ξ1；当c∈
时，f″(ξ2)=【答案解析】在使用泰勒中值定理时，若已知条件中给出某点的一阶导数，则函数在该点展开；若结论中是关于某点的一阶导数，则在该点展开；若既未给出某点的一阶导数的条件，结论中又不涉及某点的一阶导数，往往函数在区间的中点处展开．