结构推理
假设给定一个序列，其傅里叶变换具有如下特性
试证明：（1）如果我们定义一个新序列，其值为
（即每隔M个取样保留一个），则
（2）对于的情况，画出的傅里叶变换示意图[假设的形状是任意的]。
（3）假设我们有一个序列，如果我们定义一个新序列：
请证明
（4）对于（3）中假设的，画出的傅里叶变换示意图。
（5）利用前面的结果，说明如何能从精确地恢复原序列。M和之间应该满足什么关系才能保证可以恢复。
【正确答案】解：（1）已知
故
其中
因为
代入后得到
所以
（2）的傅里叶变换为
当时，与的示意图如下图所示。
（3）因为已知
所以
（4）的傅里叶变换为
如果的示意图如图（1）所示，则的示意图如图（2）所示。
（5）从图1和图2可以看出，如果先对作傅里叶变换，得到，再滤出，然后对作傅里叶反变换就可得到，为了保证精确恢复，要求的频谱没有混叠，因为
所以要求当时
即
这就保证在区间内的正确恢复。
【答案解析】