问答题
设A是3阶实对称矩阵，已知A的每行元素之和为3，且有二重特征值λ
1
=λ
2
=1．求A的全部特征值、特征向量，并求A
n
．
【正确答案】正确答案：方法一 A是3阶矩阵，每行元素之和为3，即有
故知A有特征值λ
3
=3，对应特征向量为ξ
3
=[1，1，1]
T
． 又A是实对称阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，故设λ
1
=λ
2
=1的特征向量为ξ=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，应有 ξ
3
T
ξ=x
1
+x
2
+x
3
=0， 解得λ
1
=λ
2
=1的线性无关特征向量为 ξ
1
=[－1，1，0]
T
，ξ
2
=[－1，0，1]
T
． 取P=[ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
]=
故 A=PΛP
－1
，A
n
=PΛP
－1
…PΛP
－1
=PΛ
n
P
－1
． 其中P可如下求得：
方法二 由方法一，得 Aξ
3
=λ
3
ξ
3
，其中λ
3
=3，ξ
3
=
设λ
1
=λ
2
=1对应的特征向量为ξ=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，则应有 ξ
3
T
ξ=x
1
+x
2
+x
3
=0． 取ξ
1
=[1，－1，0]
T
，再取ξ
2
与ξ
1
正交，设ξ
2
=[1，1，x]
T
，代入上式得ξ
2
=[1，1，－2]
T
，将ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
单位化，并取正交阵
故知A有特征值λ
3
=3，对应特征向量为ξ
3
=[1，1，1]
T
． 又A是实对称阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，故设λ
1
=λ
2
=1的特征向量为ξ=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，应有 ξ
3
T
ξ=x
1
+x
2
+x
3
=0， 解得λ
1
=λ
2
=1的线性无关特征向量为 ξ
1
=[－1，1，0]
T
，ξ
2
=[－1，0，1]
T
． 取P=[ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
]=
故 A=PΛP
－1
，A
n
=PΛP
－1
…PΛP
－1
=PΛ
n
P
－1
． 其中P可如下求得：
方法二 由方法一，得 Aξ
3
=λ
3
ξ
3
，其中λ
3
=3，ξ
3
=
设λ
1
=λ
2
=1对应的特征向量为ξ=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，则应有 ξ
3
T
ξ=x
1
+x
2
+x
3
=0． 取ξ
1
=[1，－1，0]
T
，再取ξ
2
与ξ
1
正交，设ξ
2
=[1，1，x]
T
，代入上式得ξ
2
=[1，1，－2]
T
，将ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
单位化，并取正交阵
【答案解析】