解答题
23.设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠0，若Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3．
(Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关；
(Ⅱ)证明：A不可相似对角化．
(Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关；
(Ⅱ)证明：A不可相似对角化．
【正确答案】(Ⅰ)由Aα1＝α1得(A－E)α1＝0，由Aα2＝α1＋α2得(A－E)α2＝α1，由Aα3＝α2＋α3得(A－E)α3＝α2．令k1α1＋k2α2＋k3α3＝0， 1) 两边左乘(A－E)得k2α1＋k3α2＝0， 2)
两边再左乘(A－E)得k3α1＝0，由α1≠0得k3＝0，代入2)得k2α1＝0，则k2＝0，再代入1)得k1α1＝0，从而k1＝0，于是α1，α2，α3线性无关．
(Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，由(Aα1，Aα2，Aα3)＝(α1，α1＋α2，α2＋α3)得AP＝
从而p﹣1AP＝
＝B．由｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ－1)3＝0得A的特征值为λ1＝λ2＝λ3＝1，E－B＝
两边再左乘(A－E)得k3α1＝0，由α1≠0得k3＝0，代入2)得k2α1＝0，则k2＝0，再代入1)得k1α1＝0，从而k1＝0，于是α1，α2，α3线性无关．
(Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，由(Aα1，Aα2，Aα3)＝(α1，α1＋α2，α2＋α3)得AP＝
从而p﹣1AP＝＝B．由｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ－1)3＝0得A的特征值为λ1＝λ2＝λ3＝1，E－B＝【答案解析】