解答题
19.设f(x)∈C[a，b]且f(x)为单调增函数，若f(a)＜0，∫abf(x)dx＞0，
证明：(Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=0；
(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得∫aηf(x)dx=f(η)．
证明：(Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=0；
(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得∫aηf(x)dx=f(η)．
【正确答案】 (Ⅰ)由积分中值定理，∫abf(x)dx=f(c)(b一a)＞0，其中c∈[a，b]，显然f(c)＞0且c∈(a，b]．因为f(a)f(c)＜0，所以由零点定理，存在x0∈(a，c)，使得f(x0)=0．再由f(x)单调增加得，当x∈[a，x0)时，f(x)＜0；当x∈(x0，b]时，f(x)＞0．令F(x)=∫axf(t)dt，显然F(x0)＜0，F(B)＞0，由零点定理，存在ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，即∫aξf(x)dx=0．
(Ⅱ)令φ(x)=e-x∫axf(t)dt，φ(a)=φ(ξ)=0，由罗尔定理，存在η∈(a，ξ)
(Ⅱ)令φ(x)=e-x∫axf(t)dt，φ(a)=φ(ξ)=0，由罗尔定理，存在η∈(a，ξ)
【答案解析】