问答题
设数列{x
n
}满足0＜x
1
＜1，
问答题
证明：当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜e
x
-1；
【正确答案】
【答案解析】[证] 记F
1
(x)=ln(1+x)-x，则
问答题
证明：
【正确答案】
【答案解析】[证] 当0＜x＜1时，
ln(1+x)＜x＜e x -1．
由0＜x 1 ＜1，可知
从而0＜x 2 ＜1．同理可证当0＜x k ＜1时，x k+1 同样满足0＜x k+1 ＜1，由数学归纳法知对一切n=1，2，…，有0＜x n ＜1，即数列{x n )是有界的．
又当0＜x n ＜1时，
即{x
n
}单调减少．
由单调有界准则知
存在．将该极限值记为a，则a≥0．
对
两边取极限，得
ln(1+a)=e a -1．
设f(x)=e x -1-ln(1+x)，当0＜x＜1时，
因此f(x)单调增加．由f(0)=0，可知f(x)＞0，从而只有a=0，即
ln(1+x)＜x＜e x -1．
由0＜x 1 ＜1，可知
从而0＜x 2 ＜1．同理可证当0＜x k ＜1时，x k+1 同样满足0＜x k+1 ＜1，由数学归纳法知对一切n=1，2，…，有0＜x n ＜1，即数列{x n )是有界的．
又当0＜x n ＜1时，
即{x
n
}单调减少．
由单调有界准则知
存在．将该极限值记为a，则a≥0．
对
两边取极限，得
ln(1+a)=e a -1．
设f(x)=e x -1-ln(1+x)，当0＜x＜1时，
因此f(x)单调增加．由f(0)=0，可知f(x)＞0，从而只有a=0，即