填空题
方程
- 1、
【正确答案】
1、1
【答案解析】[详解] 设[*]
则[*]，[*]，由零点存在定理F(x)=0至少有一个根．
[*]
当x∈(-∞，+∞)时，[*](等号仅当x=0时成立)，又0＜[*]≤1，-1≤sinx≤1，所以有-1≤[*]sinx≤1，注意到F'(0)=1＞0，因此，F'(x)＞0，从而有F(x)在(-∞，+∞)严格单调递增，由此，F(x)=0最多有一个实根．
综合上述，F(x)=0在(-∞，+∞)上有且仅有一个实根．
[评注] 讨论F(x)=0的根的个数时，一般从下面两方面考虑：
(1)F(x)在什么区间上满足零点存在定理；
(2)F(x)在该区间上的单调性．
则[*]，[*]，由零点存在定理F(x)=0至少有一个根．
[*]
当x∈(-∞，+∞)时，[*](等号仅当x=0时成立)，又0＜[*]≤1，-1≤sinx≤1，所以有-1≤[*]sinx≤1，注意到F'(0)=1＞0，因此，F'(x)＞0，从而有F(x)在(-∞，+∞)严格单调递增，由此，F(x)=0最多有一个实根．
综合上述，F(x)=0在(-∞，+∞)上有且仅有一个实根．
[评注] 讨论F(x)=0的根的个数时，一般从下面两方面考虑：
(1)F(x)在什么区间上满足零点存在定理；
(2)F(x)在该区间上的单调性．