问答题
设函数f(x)与g(x)都在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)．
求证：
∈(0，
)与η∈(
求证：
∈(0，)与η∈(
【正确答案】把ξ与η分离至等式两端可得
对函数F(x)=f(x)=g(x)应用拉格朗日中值定理，由于F(x)在[0，]上连续，在(0，]内可导，故存在ξ∈(0，)使得
，
即
①
又由于F(x)在[，1]上连续，在[，1)内可导，故存在η∈(，1)使得
，
即
②
将①式与②式相加，就有ξ∈(0，)与η∈(，1)使得
对函数F(x)=f(x)=g(x)应用拉格朗日中值定理，由于F(x)在[0，
]上连续，在(0，]内可导，故存在ξ∈(0，)使得，即
①又由于F(x)在[
，1]上连续，在[，1)内可导，故存在η∈(，1)使得，即
② 将①式与②式相加，就有ξ∈(0，
)与η∈(，1)使得【答案解析】