问答题
设f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX经正交变换可化为
【正确答案】
【答案解析】f在正交变换下的标准形的系数是f对应矩阵的特征值，即A有特征值λ
1
=2，
λ 2 =λ 3 =-1，从而知
．
A * 有特征值
：μ
1
=1，μ
2
=μ
3
=-2，α是A
*
的对应于μ
1
=1的特征向量．A是对称阵．A
*
也是对称阵．故μ
2
=μ
3
=-2对应的特征向量与α正交，α也是A对应于λ
1
=2的特征向量．A对应于λ
2
=λ
3
=-1的特征向量正交，设X=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，则有α
T
X=x
1
+x
2
-x
3
=0，解得A对应于λ
2
=λ
3
=-1的特征向量为
X 1 =[1，-1，0] T ，X 2 =[1，0，1] T ，
令P=[α，X 1 ，X 2 ]=
，则
p -1 AP=
，
λ 2 =λ 3 =-1，从而知
．
A * 有特征值
：μ
1
=1，μ
2
=μ
3
=-2，α是A
*
的对应于μ
1
=1的特征向量．A是对称阵．A
*
也是对称阵．故μ
2
=μ
3
=-2对应的特征向量与α正交，α也是A对应于λ
1
=2的特征向量．A对应于λ
2
=λ
3
=-1的特征向量正交，设X=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，则有α
T
X=x
1
+x
2
-x
3
=0，解得A对应于λ
2
=λ
3
=-1的特征向量为
X 1 =[1，-1，0] T ，X 2 =[1，0，1] T ，
令P=[α，X 1 ，X 2 ]=
，则
p -1 AP=
，