问答题
设随机变量X的分布函数为
【正确答案】(Ⅰ) 当a=1时，X的分布函数为
则X的概率密度函数为
此时
令
，则
，从而参数β的矩估计量为
(Ⅱ) 对于总体X的简单随机样本值X1，X2，…，Xn引入似然函数
当xi＞1(i=1，2，…，n)时，L(β)＞0，取对数得
则
令
，可解得
，所以β的最大似然估计量为
(Ⅲ) 当β一2时，X的分布函数为
则X的概率密度函数为
对于总体X的简单随机样本值X1，X2，…，Xn引入似然函数
当xi＞α(i=1，2，…，n)时，
，且是α的增函数，因此
α＜min(x1，x2，…，xn)，
从而α∈(0，min(x1，x2，…，xn)．
由于 L(α)是α的增函数，所以α的最大似然估计量为
则X的概率密度函数为
此时
令
，则，从而参数β的矩估计量为(Ⅱ) 对于总体X的简单随机样本值X1，X2，…，Xn引入似然函数
当xi＞1(i=1，2，…，n)时，L(β)＞0，取对数得
则
令
，可解得，所以β的最大似然估计量为(Ⅲ) 当β一2时，X的分布函数为
则X的概率密度函数为
对于总体X的简单随机样本值X1，X2，…，Xn引入似然函数
当xi＞α(i=1，2，…，n)时，
，且是α的增函数，因此α＜min(x1，x2，…，xn)，
从而α∈(0，min(x1，x2，…，xn)．
由于 L(α)是α的增函数，所以α的最大似然估计量为
【答案解析】[考点提示] 矩估计、最大似然估计．